Segitiga siku-siku mempunyai luas 1.944 satuan luas, dan keliling 216 satuan panjang. Tentukan nilai sisi depan, sisi samping, dan sisi miring segitiga tersebut.

Segitiga siku-siku mempunyai luas 1.944 satuan luas, dan keliling 216 satuan panjang. Tentukan nilai sisi depan, sisi samping, dan sisi miring segitiga tersebut.

Terdapat 2 kemungkinan nilai tripel (sisi depan, sisi samping, dan sisi miring) untuk segitiga siku-siku tersebut, yaitu:

• (54, 72, 90) satuan panjang, atau
• (72, 54, 90) satuan panjang.

 

Pembahasan

Diketahui

Segitiga siku-siku yang mempunyai:

• Luas: L =  1.944 satuan luas, dan
• Keliling: K = 216 satuan panjang.

Ditanyakan

• Nilai panjang sisi depan, sisi samping, dan sisi miring segitiga siku-siku tersebut.

PENYELESAIAN

Kita gunakan terminologi alas, tinggi, dan hipotenusa. Pada hasil akhir, nilai alas dan tinggi (sisi samping dan depan) bisa saling tukar posisi.

• Sisi depan = tinggi = t
• Sisi samping = alas = a
• Sisi miring = hipotenusa = h

Ketiganya memenuhi teorema Pythagoras:
⇒ h² = a² + t²  …(i)

Keliling Δ:
K = a + t + h
⇒ K – h = a + t   …(ii)

Luas Δ:
L = ½at
⇒ 4L = 2at
⇒ 4L = (a + t)² – (a² + t²)
∵ (a + t)² = a² + 2at + t²
Substitusi dari (i) dan (ii):
⇒ 4L = (K – h)² – h²
⇒ 4L = K² – 2Kh + h² – h²
⇒ 4L = K² – 2Kh
⇒ 2Kh = K² – 4L
⇒ h = ½K – 2(L/K)
Substitusi nilai K dan L.
⇒ h = ½·216 – 2(1.944/216)
⇒ h = 108 – 2[(8·243) / (6³)] ⇒ h = 108 – 2[(2³·3^5) / (2³·3³)] ⇒ h = 108 – 2(3²) = 108 – 18
⇒ h = 90 satuan panjang

Jika kita pilih tripel Pythagoras (3, 4, 5) sebagai basis, maka:
a : t : h = 3 : 4 : 5
⇒ a : t : 90 = 3 : 4 : 5

• Sehingga, untuk a diperoleh:
  a = (3/5) × 90 = 3 × 18
  ⇒ a = 54 satuan panjang
• Dan untuk t diperoleh:
  t = (4/5) × 90 = 4 × 18
  ⇒ t = 72 satuan panjang

Periksa luas:
L = ½at = ½·54·72 = 27·72
⇒ L = 1.944 satuan luas … benar!

Kita sudah memperoleh nilai a dan t dengan cara “menebak” berdasarkan tripel Pythagoras yang dipilih sebagai nilai perbandingan.
Namun kita juga harus bisa mencari nilai a dan t tanpa menebak.

Substitusi nilai h ke persamaan (ii) memberikan:
216 – 90 = a + t
⇒ a + t = 126
⇒ a = 126 – t

Substitusikan a dan nilai h ke dalam persamaan (i):
90² = (126 – t)² + t²
⇒ 90² = 126² – 2·126t  + t² + t²
⇒ 90² = 126² – 2·126t + 2t²
⇒ 2²·45² = 2²·63² – 2·126t  + 2t²
Kedua ruas dibagi 2.
⇒ 2·45² = 2·63² – 126t  + t²
⇒ t² – 126t + 2·63² – 2·45² = 0
⇒ t² – 126t + 2(63² – 45²) = 0
⇒ t² – 126t + 2·9²(7² – 5²) = 0
⇒ t² – 126t + 2·9²(49 – 25) = 0
⇒ t² – 126t + 2·9²(24) = 0
⇒ t² – 126t + 2·9²(2³·3) = 0
⇒ t² – 126t + 2⁴·3⁵ = 0
⇒ t² – 126t + (2·3³)(2³·3²) = 0
⇒ t² – (54+72)t + 54·72= 0
⇒ (t – 54)(t – 72) = 0
⇒ t = 54, atau t = 72

Karena 54 + 72 = 126, kita sudah memperoleh nilai a, sehingga terdapat 2 alternatif tripel (a, t, h), yaitu:

• (54, 72, 90), atau
• (72, 54, 90)

KESIMPULAN

∴  Terdapat 2 kemungkinan nilai tripel (sisi depan, sisi samping, dan sisi miring) untuk segitiga siku-siku tersebut, yaitu:

• (54, 72, 90) satuan panjang, atau
• (72, 54, 90) satuan panjang.

 

 

Pelajari lebih lanjut

Pelajari lebih lanjut di Google News

ilmuantekno.com